若关于x的不等式(已知函数f(x)=ex+e-x，其中e是自然对数的底数.(1)证明:f(x)是R上的偶函数.(2)若关于x的不等式)

（1）证明：∵f（x）=ex+e-x，∴f（-x）=e-x+ex=f（x），∴f（x）是R上的偶函数；

（2）解：若关于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，即m（ex+e-x-1）≤e-x-1，∵x＞0，∴ex+e-x-1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=-=-，当且仅当t=2，即x=ln2时等号成立，∴m≤；

（3）令g（x）=ex+e-x-a（-x3+3x），则g′（x）=ex-e-x+3a（x2-1），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+-2a，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（-x03+3x0）成立，故e+-2a＜0，即a＞（e+），令h（x）=x-（e-1）lnx-1，则h′（x）=1-，由h′（x）=1-=0，解得x=e-1，①当0＜x＜e-1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，②当x＞e-1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e-1），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e-1）?（0，e-1）时，h（e-1）≤h（x）＜h（1）=0，当x∈（e-1，e）?（e-1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．①a∈（（e+），e）?（1，e）时，h（a）＜0，即a-1＜（e-1）lna，从而ae-1＞ea-1，②当a=e时，ae-1=ea-1，③当a∈（e，+∞），e）?（e-1，+∞）时，当a＞e-1时，h（a）＞h（e）=0，即a-1＞（e-1）lna，从而ae-1＜ea-1．